Définition :
On appelle formule de quadrature à \(n+1\) points toute fonctionnelle \(I_n\) linéaire qui, à une fonction \(f\), associe : $${{I_n(f)}}={{\sum^n_{i=0}\alpha_{i}^nf(x_{i}^n)}}$$ où les \(x_{i}^n\) sont des points d'intégration et les \(\alpha_i^n\) sont les coefficients d'intégration qui approche (dans un sens à définir) $$I(f)=\int^b_af(t)\,dt\quad\text{ ou }\quad I(f)=\int^b_a\mu(t)f(t)\,dt$$ avec \(\mu\) une fonction de pondération qui est continue, positive et telle que \(\displaystyle\int^b_a\lvert t^k\rvert\mu(t)\,dt\lt +\infty\)
(Fonctionnelle, Fonction de pondération)
Propriétés
Ordre
Définition :
On dit qu'une formule de quadrature est d'ordre \(p\) si et seulement si elle est exacte sur \({\Bbb R}_p[X]\) (i.e. \(I_n(f)=I(f)\) pour tout \(f\in{\Bbb R}_p[X]\)) et s'il existe un polynôme de degré \(p+1\) pour laquelle la formule est inexacte
Obtention
Les formules de type interpolatoire sont obtenues en remplaçant \(f\) par son polynôme d'interpolation de Lagrange aux points \(x_i^n\) (sous réserve qu'ils soient deux à deux disjoints)
(Polynôme d'interpolation de Lagrange)
